本文总结了圆的几种方程类型
圆的标准方程
以点$ (a,b) $为圆心,半径为$ r $的圆的标准方程为$ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 $
特别地,以点$ (0,0) $为圆心,半径为$ r $的圆的标准方程为$ x^2+y^2=r^2 $
圆的一般方程
$$ x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 $$
- 当$ D^2+E^2-4F>0 $时,该方程表示圆心为$ (-D/2,-E/2) $,半径为$ \sqrt{D^2+E^2-4F}/2 $的圆
- 当$ D^2+E^2-4F=0 $时,该方程图形为一点$ (-D/2,-E/2) $,该点被称为点圆
- 当$ D^2+E^2-4F<0 $时,图形为空集,或称虚圆
圆的参数方程
以点$ (a,b) $为圆心,半径为$ r $的圆的参数方程为
\begin{cases} x=a+r\cos\theta \\[2mm] y=b+r\sin\theta \end{cases}
圆的极坐标方程
- 圆心在极点,半径为$ r $的圆的极坐标方程为$ \rho =r $或$ \rho =-r $
- 圆心在$ (r,0) $,半径为$ r $的圆的极坐标方程为$ \rho =2r\cos\theta $
- 圆心在$ (\rho_0,\theta_0) $,半径为$ r $的圆的极坐标方程为$$ \rho^2-2\rho\rho_0\cos(\theta-\theta_0)+\rho_0^2=r^2 $$
圆的三点式方程
过不共线的三点$ (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3) $的圆的方程为
$$ \begin{vmatrix} x^2+y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} =0 $$
其中$ \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\neq 0 $
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