圆的方程有哪些类型?

2020年2月4日20:40:15
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本文总结了圆的几种方程类型

圆的标准方程

以点$ (a,b) $为圆心,半径为$ r $的圆的标准方程为$ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 $

特别地,以点$ (0,0) $为圆心,半径为$ r $的圆的标准方程为$ x^2+y^2=r^2 $

圆的一般方程

$$ x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 $$

  1. 当$ D^2+E^2-4F>0 $时,该方程表示圆心为$ (-D/2,-E/2) $,半径为$ \sqrt{D^2+E^2-4F}/2 $的圆
  2. 当$ D^2+E^2-4F=0 $时,该方程图形为一点$ (-D/2,-E/2) $,该点被称为点圆
  3. 当$ D^2+E^2-4F<0 $时,图形为空集,或称虚圆

圆的参数方程

以点$ (a,b) $为圆心,半径为$ r $的圆的参数方程为

\begin{cases}  x=a+r\cos\theta \\[2mm]  y=b+r\sin\theta \end{cases}

圆的极坐标方程

  1. 圆心在极点,半径为$ r $的圆的极坐标方程为$ \rho =r $或$ \rho =-r $
  2. 圆心在$ (r,0) $,半径为$ r $的圆的极坐标方程为$ \rho =2r\cos\theta $
  3. 圆心在$ (\rho_0,\theta_0) $,半径为$ r $的圆的极坐标方程为$$ \rho^2-2\rho\rho_0\cos(\theta-\theta_0)+\rho_0^2=r^2 $$

圆的三点式方程

过不共线的三点$ (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3) $的圆的方程为

$$ \begin{vmatrix} x^2+y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} =0 $$

其中$ \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\neq 0 $

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