如何将阶乘分解质因数

2021年2月14日21:47:27
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将一个正整数分解为若干个质数相乘的形式,即为分解质因数。例如

$$ 18=3 \times 3 \times 2=3^{2} \times 2 $$

对于正整数$ n $,其阶乘用$ n! $表示,定义为不大于$ n $的所有正整数的乘积,即

$$ n!=1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times (n-1) \times n $$

那么如何将$ n $的阶乘分解为若干个质数相乘的形式?

以13的阶乘为例

求出不大于13的所有质数,即$2,3,5,7,11,13$,那么则有

$$ 13!=2^{a_1} \times 3^{a_2} \times 5^{a_3} \times 7^{a_4} \times 11^{a_5} \times 13^{a_6} $$

以$ [n] $表示不超过$ n $的最大整数,例如

$$ [3.7]=3,[0.5]=0,[5]=5,[-2.8]=-3 $$

那么

\begin{align*}& a_1=\left[\frac{13}{2^1}\right]+\left[\frac{13}{2^2}\right]+\left[\frac{13}{2^3}\right]=6+3+1=10\\ & a_2=\left[\frac{13}{3^1}\right]+\left[\frac{13}{3^2}\right]=4+1=5\\ & a_3=\left[\frac{13}{5^1}\right]=2\\  & a_4=\left[\frac{13}{7^1}\right]=1 \\ & a_5=\left[\frac{13}{11^1}\right]=1 \\ & a_6=\left[\frac{13}{13^1}\right]=1\end{align*}

最终计算结果为

$$ 13!  =2^{10} \times 3^5 \times 5^2 \times 7 \times 11 \times 13  = 6227020800 $$

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