三角函数的倍角公式

2020年2月7日00:01:52
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三角函数的倍角公式是一类重要公式,指以角$ \alpha $的三角函数表示$ n $(正整数)倍角$ n\alpha $的三角函数的公式,常用公式如下:

二倍角公式

\begin{align*}  \sin 2\alpha= & 2\sin\alpha\cos\alpha \\[2mm]  \cos 2\alpha =& 2\cos^2\alpha-1\\[2mm] =& \cos^2\alpha-\sin^2\alpha \\[2mm] =& 1-2\sin^2\alpha \\[2mm] \tan 2\alpha=& \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{align*}

三倍角公式

\begin{align*}  \sin 3\alpha= & 3\sin\alpha-4\sin^3\alpha \\[2mm]  \cos 3\alpha =& 4\cos^3\alpha-3\cos\alpha \\[2mm]  \tan 3\alpha=& \frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha} \end{align*}

$ n $倍角公式

$ \sin n\alpha=\begin{cases} C_n^1 \sin\alpha\cos^{n-1}\alpha & - & C_n^3 \sin^3\alpha\cos^{n-3}\alpha +\cdots + \\[2mm] & & (-1)^{(n-1)/2}\sin^n\alpha & (n\mbox{是奇数})\\[2mm] C_n^1 \sin\alpha\cos^{n-1}\alpha & - & C_n^3 \sin^3\alpha\cos^{n-3}\alpha +\cdots + \\ & & (-1)^{(n-2)/2}\cdot n\sin^{n-1}\alpha\cos\alpha & (n\mbox{是偶数})\end{cases} $

$ \cos n\alpha=\begin{cases} \cos^n\alpha & - & C_n^2 \sin^2\alpha\cos^{n-2}\alpha +\cdots + \\[2mm] & & (-1)^{(n-1)/2}n\sin^{n-1}\alpha\cos\alpha & (n\mbox{是奇数})\\[2mm] \cos^n\alpha & - & C_n^2 \sin^2\alpha\cos^{n-2}\alpha +\cdots + \\ & & (-1)^{n/2}\cdot \sin^n\alpha & (n\mbox{是偶数})\end{cases} $

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