平面曲线(一)

2020年2月7日20:56:57
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珍珠线

直角坐标方程:$ \displaystyle x^s(a \pm x)^r=\frac{a^{r+s}}{b^p}y^p $

式中$ p,r,s $为自然数

一个重要特例是“斯吕赛珍珠线”$ x^4+y^4-ax^3=0 $,图像如下:

平面曲线(一)

蔓叶线

如图,作圆$ (x-a)^2+y^2=a^2 $的切线$ x=2a $,点$ P $是圆周上的一点,直线$ OP $与直线$ x=2a $相交于点$ Q $,在线段$ OQ $上取一点$ M $,使得$ OM=PQ $,当点$ P $在圆周上变动时,点$ M $的轨迹称为蔓叶线

平面曲线(一)

蔓叶线的参数方程为

\begin{cases} x=a\sin^2\theta \\[2mm] y=a\sin^2\theta\tan\theta \end{cases}

令$ t=\tan\theta $,则参数方程可表示为

\begin{cases} \displaystyle x=\frac{at^2}{1+t^2} \\[2mm] \displaystyle y= \frac{at^3}{1+t^2} \end{cases}

普通方程为

$$ y^2=\frac{x^3}{a-x} $$

极坐标方程为

$$ \rho=a\sin\theta\tan\theta $$

蔓叶线在原点$ O(0,0) $处与$ x $轴相切,点$ O $是尖点。

曲线有渐近线$ x=a $。曲线与渐近线之间的面积$ S=3\pi a^2/4 $

蛇尾线

由抛物线产生的一种曲线。

$ O $点是抛物线顶点出的切线上任意一点,从点$ O $引抛物线切线的垂线垂足的轨迹称为蛇尾线

平面曲线(一)

蛇尾线一般方程为

$$ x(x^2+y^2)=y(ay-bx) $$

点$ F(-a,-b) $为抛物线的焦点。当$ b=0 $时得到蔓叶线

蛇形线

已知定直线$ y=a $和定圆$ x^2+y^2=cx $,过原点$ O $的动直线交定圆于点$ P $,交定直线于点$ B $,再作点$ M $,使$ PM $和$ MB $分别平行于$ x $轴和$ y $轴,点$ M $的轨迹称为蛇形线
平面曲线(一)

设定直线与$ y $轴交于点$ A(0,a) $,取$ \angle AOB=\theta $为参数,则蛇形线的参数方程为

\begin{cases}  x=a\tan\theta \\[2mm] y=c\sin\theta\cos\theta \end{cases}

普通方程为$ y(x^2+a^2)=acx $

笛卡尔叶形线

平面直角坐标系中,由方程$ x^3+y^3=3axy,(a>0) $表示的曲线,称为叶形线或柳叶线

图形关于直线$ y=x $对称。顶点为$ (3a/2,3a/2) $,原点$ O(0,0) $是它的结点

在原点处,叶形线与$ x $轴、$ y $轴相切,曲率半径为$ 3a/2 $

叶形线的渐近线为$ x+y+a=0 $,且与渐近线之间的面积为$ 3a^2/2 $

圈套所围成的面积为$ 3a^2/2 $

平面曲线(一)

笛卡尔叶形线参数方程为

\begin{cases} \displaystyle x=\frac{3at}{1+t^3} \\[2mm] y=\displaystyle \frac{3at^2}{1+t^3} \end{cases}

极坐标方程为

$$ \rho=\frac{3a\tan\theta}{\cos\theta(1+\tan^3\theta)} $$

皮利福梅曲线

过圆$ x^2+y^2-2ax=0 $上的动点$ P $与$ x $轴平行的直线交圆之定直径$ AB $于$ Q $,直线$ OQ $与过点$ P $且平行于$ y $轴的直线的交点$ M $的轨迹称为皮利福梅曲线

平面曲线(一)

皮利福梅曲线围成的面积为$ \pi a^2 $

直角坐标方程为$ x^4-2ax^3+a^2y^2=0 $

参数方程

\begin{cases} x=a(1+\cos\theta) \\[2mm] y=a\sin\theta(1+\cos\theta)\end{cases}

其中$ \theta=\angle xCP $

极值点坐标$ (3a/2,\pm 3\sqrt{3}a/4) $,拐点坐标$ ((3-\sqrt{3})a/2,\pm \sqrt[4]{12}(3-\sqrt{3})a/4) $

尖点坐标$ (0,0) $

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