三角形的31个面积公式

2020年1月18日20:12:19
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本文向大家介绍三角形的31个面积公式,公式主要出自饶克勇的论文《三角形面积公式的由来和演变》

三角形的31个面积公式

已知$ \Delta ABC $三点坐标$ A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3) $,以及三边的长度$ a,b,c $

令$ \displaystyle p=\frac{1}{2}(a+b+c) $

\( \Delta ABC\)三边上的高分别为\( h_a,h_b,h_c\)

\( \Delta ABC\)的外接圆半径为\( R \),内切圆半径为\( r \)

\( AB,AC,BC\)边上的中线长分别为\( m_c,m_b,m_a\)

\( \angle A,\angle B,\angle C\)的平分线长分别为\( t_a,t_b,t_c \)

\( \angle A,\angle B,\angle C\)的外角平分线长分别为\( t_a^{'},t_b^{'},t_c^{'} \)

\( \angle A,\angle B,\angle C\)所对应的旁切圆半径分别为\( r_a,r_b,r_c \)

\( \Delta ABC\)的面积公式为

\begin{align*}S & =\frac{1}{2}ah_{a}=\frac{1}{2}bh_{b}=\frac{1}{2}ch_{c}\\[2mm] & =\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\[2mm]& =pr\\[2mm]& =\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C\\[2mm]& =|\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_{1} & y_{1} & 1\\ x_{2} & y_{2} & 1\\ x_{3} & y_{3} & 1 \end{vmatrix}|\\[2mm]& =\frac{1}{2}\sqrt{\left(|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{AB}|\right)^{2}-\left(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}\right)^{2}}\\[2mm]& =\frac{a^{2}\sin B\sin C}{2\sin A}=\frac{b^{2}\sin A\sin C}{2\sin B}=\frac{c^{2}\sin A\sin B}{2\sin C}\\[2mm]& =2R^{2}\sin A\sin B\sin C\\[2mm]& =\frac{h_{c}^{2}\sin C}{2\sin A\sin B}=\frac{h_{a}^{2}\sin A}{2\sin B\sin C}=\frac{h_{b}^{2}\sin B}{2\sin A\sin C}\\[2mm]& =\frac{abc}{4R}\\[2mm]& =\frac{a^{2}\sin 2B+b^{2}\sin 2A}{4}=\frac{b^{2}\sin 2C+c^{2}\sin 2B}{4}=\frac{a^{2}\sin 2C+c^{2}\sin 2A}{4}\\[2mm]& =\frac{(a^{2}-b^{2})\sin A\sin B}{2\sin(A-B)}=\frac{(a^{2}-c^{2})\sin A\sin C}{2\sin(A-C)}=\frac{(b^{2}-c^{2})\sin B\sin C}{2\sin(B-C)}\\[2mm]& =\frac{2abc}{a+b+c}\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}\\[2mm]& =\left(\frac{a^{2}}{\sin A}+\frac{b^{2}}{\sin B}+\frac{c^{2}}{\sin C} \right)\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\\[2mm]& =\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}b^{2}-\left(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2} \right)^{2}}\\[2mm]& =4Rr\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}\\[2mm]& =4Rp\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\\[2mm]& =p^{2}\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}\\[2mm]& =Rr(\sin A+\sin B+\sin C)\\[2mm]& =p(p-a)\tan\frac{A}{2}=p(p-b)\tan\frac{B}{2}=p(p-c)\tan\frac{C}{2}\\[2mm]& =\frac{1}{8}(4m_{a}^{2}-a^{2})\tan A=\frac{1}{8}(4m_{b}^{2}-b^{2})\tan B=\frac{1}{8}(4m_{c}^{2}-c^{2})\tan C\\[2mm]& =\frac{1}{3}\sqrt{(m_{a}+m_{b}+m_{c})(m_{a}+m_{b}-m_{c})(m_{b}+m_{c}-m_{a})(m_{a}+m_{c}-m_{b})}\\[2mm]& =\frac{t_{a}(b+c)}{2\sqrt{bc}}\sqrt{(p-b)(p-c)}=\frac{t_{b}(a+c)}{2\sqrt{ac}}\sqrt{(p-a)(p-c)}=\frac{t_{c}(a+b)}{2\sqrt{ab}}\sqrt{(p-a)(p-b)}\\[2mm]& =\frac{t_{a}t_{b}t_{c}}{abcp}(a+b)(b+c)(c+a)\\[2mm]& =\frac{t'_{a}|b-c|}{2\sqrt{bc}}\sqrt{p(p-a)}=\frac{t'_{b}|a-c|}{2\sqrt{ac}}\sqrt{p(p-b)}=\frac{t'_{c}|a-b|}{2\sqrt{ab}}\sqrt{p(p-c)}\\[2mm]& =\frac{|b^{2}-c^{2}|}{4bc}t_{a}t'_{a}=\frac{|a^{2}-c^{2}|}{4ac}t_{b}t'_{b}=\frac{|a^{2}-b^{2}|}{4ab}t_{c}t'_{c}\\[2mm]& =rr_{a}\cot\frac{A}{2}=rr_{b}\cot\frac{B}{2}=rr_{c}\cot\frac{C}{2}\\[2mm]& =\sqrt{rr_{a}r_{b}r_{c}}\\[2mm]& =\frac{r_{a}r_{b}r_{c}}{\sqrt{r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}}}\\[2mm]& =aR\sin B\sin C=bR\sin A\sin C=cR\sin A\sin B\\[2mm]& =\frac{1}{4}(b^{2}+c^{2}-a^{2})\tan A=\frac{1}{4}(a^{2}+c^{2}-b^{2})\tan B=\frac{1}{4}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\tan C\\[2mm]& =r_{a}(p-a)=r_{b}(p-b)=r_{c}(p-c)\\[2mm]& =\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4(\cot A+\cot B+\cot C)}\end{align*}

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