平面曲线(二)

2020年2月10日00:33:34
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环索线

已知定点$ A $与直线$ l $的距离为$ OA=a $,过$ A $点的任意直线交定直线$ l $于$ P $点,直线$ AP $上到点$ P $的距离等于$ |OP| $的动点$ M $的轨迹称为环索线,点$ A $称为环索线的顶点

平面曲线(二)

取定直线$ l $为$ y $轴建立直角坐标系,设$ A(a,0),\angle AOM=\theta $

环索线的参数方程为

$$ \begin{cases} \displaystyle x=\frac{a(1-t^2)}{1+t^2}  \\[2mm] \displaystyle y=\frac{at(1-t^2)}{1+t^2} \end{cases} (t=\tan\theta) $$

普通方程为$ y^2(a+x)=x^2(a-x) $

极坐标方程为$ \rho=a\cos 2\theta/\cos\theta $

结点$ O(0,0) $,渐近线$ x=-a $,且与渐近线之间的面积为$ 2a^2+\pi a^2/2 $,圈套围成的面积为$ 2a^2-\pi a^2/2 $

环索线也是以$ O $为顶点,腰长为$ a $的等腰三角形$ OAB $的垂心的轨迹

等边双曲线关于其一顶点的反演图形为环索线

斜环索线

已知定直线$ l $及其上的定点$ O $,过直线$ l $外定点$ A $的任一直线交直线$ l $于点$ P $,直线$ AP $上到点$ P $的距离等于$ |OP| $的动点$ M $的轨迹称为斜环索线

特别地,当$ AO \bot l $时,即为环索线

平面曲线(二)

作$ AH \bot l $,垂足为$ H $。取点$ A $为极点,$ AH $为极轴,设$ AH=a,HP=b $,则斜环索线的极坐标方程为

$$ \rho=\frac{a}{\cos\theta}+a\tan\theta -b $$

$$ \rho=\frac{a}{\cos\theta}-a\tan\theta -b $$

直角坐标方程为

$$ (x^2+y^2)(x-2a)+(a^2-b^2)x+2aby=0 $$

箕舌线

设定圆直径$ OA=a $,过$ O $作任一弦$ OP $,过点$ A $作圆的切线与射线$ OP $交于点$ B $,再作点$ M $,使$ BM $平行于$ OA ,$ PM \bot OA $。当$ P $点在定圆上变动时,点$ M $的轨迹称为箕舌线

平面曲线(二)

如图建立直角坐标系,取$ \angle AOB=\theta $为参数,则箕舌线的参数方程为

\begin{cases}  x=a\tan\theta \\[2mm] y=a\cos^2\theta \end{cases}

普通方程为$ y(x^2+a^2)=a^3 $

箕舌线有渐近线$ y=0 $,箕舌线与渐近线之间的面积为$ \pi a^2 $

拐点$ (\pm a/\sqrt{3},3a/4) $,两个拐点处的切线斜率分别为$ \mp 3\sqrt{3}/8 $

过曲线上任一点$ M $作$ MQ \bot OA $交圆于$ P $,则有$ QM:QP=OA:OQ $

童衫线

平面直角坐标系中,由方程$ xy^2=h(x+h)^2 $表示的曲线称为童衫线

平面曲线(二)

卡帕曲线

半径为定长$ a $的动圆$ C $的圆心在$ x $轴上滑动,从坐标原点$ O $向圆$  C $所作切线的切点$ M $的轨迹称为卡帕($ \kappa $)曲线

平面曲线(二)

卡帕曲线的极坐标方程为$ \rho=a\cot\theta $

直角坐标方程为$ y^2(x^2+y^2)=a^2x^2 $

蜗牛线

极坐标方程为$ \displaystyle \rho=\frac{a\sin\theta}{\theta} $的曲线称为蜗牛线

平面曲线(二)

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