复系数一元二次方程的解法

2020年1月8日20:54:11
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对于复系数一元二次方程

$$ z^2+(a+bi)z+(c+di)=0 $$

首先了解一下复数开平方的运算公式

  • $ B>0 $时

$$ \sqrt{A+Bi}=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{A^2+B^2}+A}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{A^2+B^2}-A}{2}}\right) $$

  • $ B<0 $时

$$ \sqrt{A+Bi}=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{A^2+B^2}+A}{2}}-i\sqrt{\frac{\sqrt{A^2+B^2}-A}{2}}\right) $$

令\( \Delta_1=ab-2d,\Delta_2=a^2-b^2-4c \)

\(\Delta_1=0  \)时

  • \( \Delta_2>0 \)时

\begin{cases} \displaystyle z_1=-\frac{1}{2}(a-\sqrt{\Delta_2})-\frac{1}{2}bi\\[2mm] \displaystyle z_2=-\frac{1}{2}(a+\sqrt{\Delta_2})-\frac{1}{2}bi\end{cases}

  • \( \Delta_2=0 \)时

$$ z_1=z_2=-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}bi $$

  • \( \Delta_2<0 \)时

\begin{cases} \displaystyle z_1=-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}(b-\sqrt{-\Delta_2})i\\[2mm]\displaystyle z_2=-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}(b+\sqrt{-\Delta_2})i\end{cases}

\(\Delta_1>0  \)时

\begin{cases}\displaystyle z_1=-\frac{1}{2}\left(a-\sqrt{\frac{\sqrt{\Delta_2^2+4\Delta_1^2}+\Delta_2}{2}}\right)-\frac{1}{2}\left(b-\sqrt{\frac{\sqrt{\Delta_2^2+4\Delta_1^2}-\Delta_2}{2}}\right)i \\[2mm]\displaystyle z_2=-\frac{1}{2}\left(a+\sqrt{\frac{\sqrt{\Delta_2^2+4\Delta_1^2}+\Delta_2}{2}}\right)-\frac{1}{2}\left(b+\sqrt{\frac{\sqrt{\Delta_2^2+4\Delta_1^2}-\Delta_2}{2}}\right)i\end{cases}

\(\Delta_1<0  \)时

\begin{cases}\displaystyle z_1=-\frac{1}{2}\left(a-\sqrt{\frac{\sqrt{\Delta_2^2+4\Delta_1^2}+\Delta_2}{2}}\right)-\frac{1}{2}\left(b+\sqrt{\frac{\sqrt{\Delta_2^2+4\Delta_1^2}-\Delta_2}{2}}\right)i \\[2mm]\displaystyle z_2=-\frac{1}{2}\left(a+\sqrt{\frac{\sqrt{\Delta_2^2+4\Delta_1^2}+\Delta_2}{2}}\right)-\frac{1}{2}\left(b-\sqrt{\frac{\sqrt{\Delta_2^2+4\Delta_1^2}-\Delta_2}{2}}\right)i\end{cases}

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