1的无理数次方是否等于1?

2020年1月3日17:49:30
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例如$ 1^{\sqrt{2}} $,它是否等于1?

很多人都觉得这是明知故问,小学生都知道的答案。但是如果你学过一点基础的复变函数论知识,就知道这个问题并不是那么理所应当的。

因为$ 1^{\sqrt{2}} $并不一定会等于1。在复数范围内,$ 1^{\sqrt{2}} $有无数个值

$$ 1^{\sqrt{2}}=\cos\left(2k\pi\sqrt{2}\right)+i\sin\left(2k\pi\sqrt{2}\right) $$

其中$ k $是任意整数,$ i^2=-1 $

以下是推导过程

\begin{align*} & 1^{\sqrt{2}}\\[2mm] =& e^{\sqrt{2}\ln 1}\\[2mm] =& e^{\sqrt{2}\ln(\cos 2k\pi+i\sin 2k\pi)}\\[2mm] =& e^{\sqrt{2}\ln e^{2ik\pi}}\\[2mm] =& e^{2ik\pi\sqrt{2}}\\[2mm] =& \cos\left(2k\pi\sqrt{2}\right)+i\sin\left(2k\pi\sqrt{2}\right)\end{align*}

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  • 本文由 发表于 2020年1月3日17:49:30
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匿名

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