例如$ 1^{\sqrt{2}} $,它是否等于1? 很多人都觉得这是明知故问,小学生都知道的答案。但是如果你学过一点基础的复变函数论知识,就知道这个问题并不是那么理所应当的。 因为$ 1^{\sqrt{2}} $并不一定会等于1。在复数范围内,$ 1^{\sqrt{2}} $有无数个值 $$ 1^{\sqrt{2}}=\cos\left(2k\pi\sqrt{2}\right)+i\sin\left(2k\pi\sqrt{2}\right) $$ 其中$ k $是任意整数,$ i^2=-1 $ 以下是推导过程 \begin{align*} & 1^{\sqrt{2}}\\[2mm] =& e^{\sqrt{2}\ln 1}\\[2mm] =& e^{\sqrt{2}\ln(\cos 2k\pi+i\sin 2k\pi)}\\[2mm] =& e^{\sqrt{2}\ln e^{2ik\pi}}\\[2mm] =& e^{2ik\pi\sqrt{2}}\\[2mm] =& \cos\left(2k\pi\sqrt{2}\right)+i\sin\left(2k\pi\sqrt{2}\right)\end{align*}