1的无理数次方是否等于1？

例如$ 1^{\sqrt{2}} $，它是否等于1？

很多人都觉得这是明知故问，小学生都知道的答案。但是如果你学过一点基础的复变函数论知识，就知道这个问题并不是那么理所应当的。

因为$ 1^{\sqrt{2}} $并不一定会等于1。在复数范围内，$ 1^{\sqrt{2}} $有无数个值

$$ 1^{\sqrt{2}}＝\cos\left(2k\pi\sqrt{2}\right)+i\sin\left(2k\pi\sqrt{2}\right) $$

其中$ k $是任意整数，$ i^2=-1 $

以下是推导过程

\begin{align*} & 1^{\sqrt{2}}\\[2mm] ＝& e^{\sqrt{2}\ln 1}\\[2mm] ＝& e^{\sqrt{2}\ln(\cos 2k\pi+i\sin 2k\pi)}\\[2mm] ＝& e^{\sqrt{2}\ln e^{2ik\pi}}\\[2mm] ＝& e^{2ik\pi\sqrt{2}}\\[2mm] ＝& \cos\left(2k\pi\sqrt{2}\right)+i\sin\left(2k\pi\sqrt{2}\right)\end{align*}